背景・目的

スラロームの設計に、比較的簡単にスラロームを実装できる方法が紹介されている。この考え方に基づけばターン速度、ターン径、角度が異なってもその都度調整を行わなくて良い可能性がある。

ただ、その記事で暗黙のうちに仮定されている「角加速期間における横方向のずれを無視する」というのが妥当なのか疑問が残る。ずれが蓄積すれば、スラロームが連続するような走行では問題になる。

そこで、角加速期間における横方向の移動距離 $y$ について検討する。

なお、角加速度一定の場合、この角加速期間における走行軌道はクロソイド曲線になる。

計算方法

横方向の移動距離を求めようとしてみる

機体の移動速度を $v$ , 角度を $\theta$ とすると、 x方向, y方向それぞれの移動速度は $\begin{aligned} v_x &= v \cos\theta \\ v_y &= v \sin\theta \end{aligned}$ である。スラローム中 $v$ は一定であるとし、スラローム開始時点では $\theta = 0$ とする。

円弧状態に移行するまでの時間を $t$ とする。

角度は角速度 $\omega$ を積分して $\theta = \int_0^t \omega dt$ であり、 $\omega$ は角加速度 $\alpha$ を積分して $\omega = \int_0^t \alpha dt$ である。一定の角加速度 $\alpha$ を与えて角加速する場合、 $\begin{aligned} \omega &= \alpha t \\ \theta &= \frac{1}{2} \alpha t^2 \end{aligned}$ となる。

よって、横方向の移動距離 $y$ は $\begin{aligned} y &= \int_0^t v_y dt \\ &= v \int_0^t \sin\left(\frac{1}{2} \alpha t^2\right) dt \end{aligned}$ である。

ところが、残念ながら一般に $\sin x^2$ の積分は初等関数では表せないらしい。

近似する

そこで、まずは $f(t) = \sin\left(\frac{1}{2} \alpha t^2\right)$ を近似する。 $t=0$ のまわりでテイラー展開すると $f(t) = f(0) + f^\prime(0)t + \frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}t^2 + \Omicron(t^3)$ (文字 $\Omicron$ はオーダを表す記号であり、ランダウの記号というらしい。)

1階、2階微分は $\begin{aligned} f^\prime(t) &= \alpha t \cos\left(\frac{1}{2} \alpha t^2\right) \\ f^{\prime\prime}(t) &= \alpha \cos\left(\frac{1}{2} \alpha t^2\right) - \alpha^2 t^2 \sin\left(\frac{1}{2} \alpha t^2\right) \end{aligned}$ なので、 $\begin{aligned} f(0) &= 0 \\ f^\prime(0) &= 0 \\ f^{\prime\prime}(0) &= \alpha \end{aligned}$ である。

$t \ll 1$ として3次以降の項 $\Omicron(t^3)$ を無視すると、 $f(t) = \sin\left(\frac{1}{2} \alpha t^2\right) \simeq \frac{1}{2} \alpha t^2$ と近似できる。

これは、 $x \ll 1$ のときに $\sin x \simeq x$ と近似できるということからもわかる。

積分する

近似した結果を使うと、 $y = v \int_0^t \frac{1}{2} \alpha t^2 dt$ となり、 $y = \frac{1}{6} \alpha v t^3 \qquad \cdots (1)$ を得る。

角加速にかかる時間を見積もる

円弧状態に移行するまでにかかるおおよその時間 $t$ を考える。

半径 $R$ 、速度 $v$ でスラローム走行するとき、必要な角速度 $\omega$ は、だいたい $\omega = \frac{v}{R}$ であり、 $\omega = \alpha t$ であるから、 $t = \frac{v}{\alpha R} \qquad \cdots (2)$ を得る。

横方向の移動距離を求める

式 (1) および式 (2) より、円弧状態に移行する時点における横方向の移動距離は $y = \frac{v^4}{6 \alpha^2 R^3}$ となる。

計算例

具体的に2パターン考えてみる。ここでは、探索走行を想定した遅いターンと、最短走行を想定した速いターンを考える。

遅いターン

遅いターンとして、下記のパラメータでスラローム走行することを考える。

$R=30$ mm
$v=300$ mm/s
$\alpha=300$ rad/s $^2$

このとき、 $y = 0.56 \quad \text{mm}$ であり、1 mmも移動しないことがわかる。

速いターン

速いターンとして下記を想定する。

$R=60$ mm
$v=1500$ mm/s
$\alpha=5000$ rad/s $^2$

このとき、 $y = 0.16 \quad \text{mm}$ となり、やはり 1 mm も移動しないことがわかる。

まとめ

スラローム走行における角加速時の横方向の移動距離について検討した。その結果、ほとんど横には移動しないことがわかった。

ということは、スラローム走行は「直線＋円弧＋直進」と捉えてもそれほど問題ない可能性がある。

（計算あってる？？？）

xxxxxxxxxx
 
（ひ）​この記事は「[マイクロマウス (2) Advent Calendar 2024](https://adventar.org/calendars/10766)」 13日目の記事です。​現在、2024年12月13日 25時13分。24時を超えても次の日を迎えられない。​----# 背景・目的[スラロームの設計](https://limlnote.net/FY2024/%E3%82%B9%E3%83%A9%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%A0%E3%81%AE%E8%A8%AD%E8%A8%88%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6/)に、比較的簡単にスラロームを実装できる方法が紹介されている。この考え方に基づけばターン速度、ターン径、角度が異なってもその都度調整を行わなくて良い可能性がある。​ただ、その記事で暗黙のうちに仮定されている「角加速期間における横方向のずれを無視する」というのが妥当なのか疑問が残る。ずれが蓄積すれば、スラロームが連続するような走行では問題になる。​そこで、角加速期間における横方向の移動距離 $y$ について検討する。​<img src="slalom.png" width="">​なお、角加速度一定の場合、この角加速期間における走行軌道はクロソイド曲線になる。​# 計算方法## 横方向の移動距離を求めようとしてみる機体の移動速度を $v$, 角度を $\theta$ とすると、x方向, y方向それぞれの移動速度は$$\begin{aligned}v_x &= v \cos\theta \\v_y &= v \sin\theta\end{aligned}$$である。スラローム中 $v$ は一定であるとし、スラローム開始時点では $\theta = 0$ とする。​円弧状態に移行するまでの時間を $t$ とする。​角度は角速度 $\omega$ を積分して$$\theta = \int_0^t \omega dt$$であり、$\omega$ は角加速度 $\alpha$ を積分して$$\omega = \int_0^t \alpha dt$$である。一定の角加速度 $\alpha$ を与えて角加速する場合、$$\begin{aligned}\omega &= \alpha t \\\theta &= \frac{1}{2} \alpha t^2\end{aligned}$$となる。​よって、横方向の移動距離 $y$ は$$\begin{aligned}y&= \int_0^t v_y dt \\&= v \int_0^t \sin\left(\frac{1}{2} \alpha t^2\right) dt\end{aligned}$$である。​ところが、残念ながら一般に $\sin x^2$ の積分は初等関数では表せないらしい。​## 近似するそこで、まずは $f(t) = \sin\left(\frac{1}{2} \alpha t^2\right)$ を近似する。$t=0$ のまわりでテイラー展開すると$$f(t) = f(0) + f^\prime(0)t + \frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}t^2 + \Omicron(t^3)$$(文字 $\Omicron$ はオーダを表す記号であり、ランダウの記号というらしい。)​1階、2階微分は$$\begin{aligned}f^\prime(t) &= \alpha t \cos\left(\frac{1}{2} \alpha t^2\right) \\f^{\prime\prime}(t)&= \alpha \cos\left(\frac{1}{2} \alpha t^2\right)- \alpha^2 t^2 \sin\left(\frac{1}{2} \alpha t^2\right) \end{aligned}$$なので、$$\begin{aligned}f(0) &= 0 \\f^\prime(0) &= 0 \\f^{\prime\prime}(0) &= \alpha\end{aligned}$$である。​$t \ll 1$ として3次以降の項 $\Omicron(t^3)$ を無視すると、$$f(t) = \sin\left(\frac{1}{2} \alpha t^2\right) \simeq \frac{1}{2} \alpha t^2$$と近似できる。​これは、$x \ll 1$ のときに $\sin x \simeq x$ と近似できるということからもわかる。​## 積分する近似した結果を使うと、$$y = v \int_0^t \frac{1}{2} \alpha t^2 dt$$となり、$$y = \frac{1}{6} \alpha v t^3 \qquad \cdots (1)$$を得る。​## 角加速にかかる時間を見積もる円弧状態に移行するまでにかかるおおよその時間 $t$ を考える。​半径 $R$、速度 $v$ でスラローム走行するとき、必要な角速度 $\omega$ は、だいたい$$\omega = \frac{v}{R}$$であり、$$\omega = \alpha t$$であるから、$$t = \frac{v}{\alpha R} \qquad \cdots (2)$$を得る。​## 横方向の移動距離を求める式 (1) および 式 (2) より、円弧状態に移行する時点における横方向の移動距離は$$y = \frac{v^4}{6 \alpha^2 R^3}$$となる。​​# 計算例具体的に2パターン考えてみる。ここでは、探索走行を想定した遅いターンと、最短走行を想定した速いターンを考える。​## 遅いターン遅いターンとして、下記のパラメータでスラローム走行することを考える。​* $R=30$ mm* $v=300$ mm/s* $\alpha=300$ rad/s$^2$​このとき、$$y = 0.56 \quad \text{mm}$$であり、1 mmも移動しないことがわかる。​## 速いターン速いターンとして下記を想定する。​* $R=60$ mm* $v=1500$ mm/s* $\alpha=5000$ rad/s$^2$​このとき、$$y = 0.16 \quad \text{mm}$$となり、やはり 1 mm も移動しないことがわかる。​# まとめスラローム走行における角加速時の横方向の移動距離について検討した。その結果、ほとんど横には移動しないことがわかった。​ということは、スラローム走行は「直線＋円弧＋直進」と捉えてもそれほど問題ない可能性がある。​（計算あってる？？？）

メニュー